L’Alone lunare
(A cura di Tommaso Morelli – AAAV)
- Scopo dell’esperienza
Lo scopo di questa esperienza è verificare, a partire dalla foto di Figura 1, se i cristalli esagonali di ghiaccio presenti nell’atmosfera terrestre siano la causa all’origine del fenomeno dell’alone lunare. Verificheremo infine la compatibilità dei risultati ottenuti con la legge empirica di Gladston-Dale.
2. Cenni Teorici
Nell’atmosfera terrestre sono presenti cristalli di ghiaccio su cui si rifrangono i raggi luminosi provenienti dalla Luna, come illustrat. Sebbene l’angolo di incidenza dei raggi lunari sulla superficie di tali cristalli sia totalmente casuale, esiste un angolo 𝛿 di deviazione di tali raggi più probabile di tutti gli altri, che soddisfa l’equazione
dove n è l’indice di rifrazione del ghiaccio e 𝜑 un angolo che dipende dalla geometria dei cristalli (𝜑= 60𝑜 per cristalli esagonali). Per tale motivo, un individuo sulla Terra osserva la Luna circondata da un alone di raggio angolare 1 pari a 𝛿.
Dimensione angolare di un astro.
1 Il raggio angolare è l’angolo sotto il quale l’occhio vede il raggio dell’alone lunare. In Figura 3 è presente un’illustrazione riguardante la dimensione angolare.
2 Il fit circolare permette di determinare il centro e il raggio della circonferenza che meglio inter-pola i punti dell’alone lunare di cui sono state misurate le coordinate.
Individuando dalla foto di Figura 1 le coordinate di alcuni punti dell’alone lunare è possibile sti-mare, attraverso un fit di tipo circolare2 (cioè tra una circonferenza e i dati sperimentali), il raggio dell’alone in pixel. Per esprimere infine la stima di tale raggio in termini di distanza angolare (e ot-tenere così una stima di 𝛿) faremo uso del fatto che la distanza angolare 𝛼 in coordinate sferiche tra una coppia di punti (θ1,ψ1) e (θ2,ψ2) è espressa dalla formula
dove θ e ψ sono rispettivamente gli angoli polare e azimutale delle coordinate sferiche. Verificheremo infine se i risultati ottenuti siano compatibili con la legge di Gladston-Dale, che lega l’indice di rifrazione di un materiale alla sua densità ρ attraverso l’espressione
dove k è la costante di Gladston-Dale, che dipendente dal tipo di materiale.
3. Apparato strumentale
Gli strumenti necessari per la realizzazione di questa relazione sono stati:
- Foto dell’alone lunare;
- Catalogo stellare;
- Calcolatore con sistema Python.
4. Raccolta Dati
Inizialmente è stata aperta l’immagine di Figura 1 con la libreria di Python Matplotlib3, che, passando il cursore sopra la foto, permette di visualizzarne le coordinate in pixel. In tal modo sono state selezionate le coordinate di venti punti dell’alone lunare, riportate in Tabella 1, assegnando loro un’incertezza sull’ascissa e sull’ordinata rispettivamente di uno e tre pixel sulla base dello spessore dell’alone e della qualità dell’immagine analizzata. Analogamente, sempre dall’immagine di Figura 1, sono state ricavate le coordinate in pixel delle stelle Arcturus, Spica e Regulus, riportate in Tabella 2. Nella stessa tabella si riportano anche le coordinate sferiche (θ𝑠,ψ𝑠) delle suddette stelle, ricavate dalle coordinate galattiche (θ𝑔,ψ𝑔), disponibili su un catalogo stellare, attraverso le espressioni
Per semplificare la notazione, in seguito indicheremo le coordinate sferiche con (𝜃,𝜓).
5. Analisi Dati
Attraverso un codice Python si effettua un fit circolare con i dati di Tabella 1 per stimare le coordinate del centro e il raggio dell’alone lunare di Figura 1. I valori centrali delle coordinate del centro (𝑥𝑐̂,𝑦𝑐̂) e del raggio 𝑅̂ della circonferenza di best-fit restituiti dal calcolatore sono:
3Matplotlib è una libreria in Python per l’analisi di immagini e la realizzazione di grafici.
6. Conclusioni
La stima dell’indice di rifrazione del ghiaccio ottenuta a partire dal raggio dell’alone lunare di Figura 1 dista dal valore noto di 1.31 meno di
due deviazioni standard, per cui non possiamo rigettare l’ipotesi che l’alone lunare sia generato da cristalli esagonali di ghiaccio presenti nell’atmosfera. Infine la legge empirica di Gladston-Dale fornisce una stima della densità del ghiaccio compatibile entro poco più di due barre d’errore dal valore noto di 917 Kg/𝑚3.